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已知a、b、c∈R,且ab bc ac=1,求证：根号a/bc 根号b/ac 根号c/ab≥根号3（根号a 根号b 根号c）

已知a、b、c∈R,且ab bc ac=1,求证：根号a/bc 根号b/ac 根号c/ab≥根号3（根号a 根号b 根号c）

a b c∈R ab bc ac=1
由柯西不等式（柯西不等式可用一元二次多项式恒非负时△=0恒成立,由△=(根号a 根号b 根号c)^2
因为
由均值不等式之 平方平均>=算术平均>=倒数平均(由展开和柯西不等式可证得两个不等号),对于正实数x y z ((x^2 y^2 z^2)/3)^(1/2)>=3/(1/x 1/y 1/z)
即,1/x 1/y 1/z>=3/((x^2 y^2 z^2)/3)^(1/2)>=3根号3/根号(x^2 y^2 z^2)
(根号a 根号b 根号c)/根号abc=1/根号bc 1/根号ac 1/根号ab>=3根号3/根号(ab bc ca)=3根号3
所以
根号a/bc 根号b/ac 根号c/ab>=(根号a 根号b 根号c)^2/(根号abc 根号abc 根号abc)
>=(根号a 根号b 根号c)*3根号3/3
=根号3(根号a 根号b 根号c)
所以原不等式成立

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