已知椭圆C过点M(1,3/2),两个焦点为A(-1,0),B(1,0),O为坐标原点. (1)求椭圆C的方程; (2)直线l过点A(-1,0),且与椭圆C交于P,Q两点,求△BPQ的面积的最大值.

(1)∵椭圆C的两个焦点为A(-1,0),B(1,0),
故c=1,且椭圆的坐标在x轴上
设椭圆C的方程为:
x2
1 b2
y2
b2
=1

∵椭圆C过点M(1,
3
2
),
1
1 b2
9
4b2
=1

解得b 2=3,或b 2=-
3
4

∴椭圆C的方程为:
x2
4
y2
3
=1

(2)设直线l的方程为:x=ky-1,P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2),则
直线l的方程代入椭圆方程得:(4 3k 2)y 2-6ky-9=0
则y 1 y 2=
6k
3k2 4
,y 1 y 2=
−9
3k2 4

∴S=
1
2
•2c•|y 1-y 2|=
12
k2 1
3k2 4

令t=
k2 1
,(t≥1)
则S=
12
3t
1
t

∵y=3t
1
t
在[1, ∞)上单调递增,故当t=1时,y取最小值,此时S取最大值3.

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